Artículo Científico. Revista Académica Decisión Gerencial.
Vol. 1, No. 3, pp.
46-56, Septiembre-Diciembre, 2022.
ISSN:2953-6391
Edición Cuatrimestral.
ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA EL APRENDIZAJE
DE LA MATEMÁTICA CON APOYO DEL SOFTWARE
GEOGEBRA
METHODOLOGICAL ALTERNATIVE FOR LEARNING
MATHEMATICS WITH THE SUPPORT OF GEOGEBRA
SOFTWARE
Estefanía Tatiana Sampedro Luna
1
*,
tatianasampedrol@gmail.com ORCID https://orcid.org/0009-0009-6275-7926
María José Sarmiento Segovia
2
,
majos8905@gmail.com ORCID 0009-0009-4003-3345
Recibido: 07-sep-2022, Aceptado: 15-nov-2022, Publicado: 11-dic-2022
Resumen
El estudio se centra en el desarrollo de una alternativa metodológica para el aprendizaje sobre las derivadas aplicadas en el
proceso educativo que permita a los estudiantes universitarios enriquecer su conocimiento y tener un aprendizaje significativo,
utilizando herramientas tecnológicas como el software GeoGebra. El problema de la investigación es el poco conocimiento
y atención por el estudiantado con respecto al desarrollo de las derivadas exponenciales. El objetivo de este estudio es
presentar una alternativa metodológica para el aprendizaje de las derivadas de funciones exponenciales en donde jóvenes
estudiantes desarrollen habilidades y destrezas que permitan una fácil comprensión de la matemática. La investigación
es de tipo descriptiva, con enfoque cuantitativo, los métodos desarrollados son el inductivo y el analítico sintético. Los
resultados obtenidos demuestran que el software GeoGebra es una herramienta muy importante y dinámica para el aprendizaje
y enseñanza de las matemáticas en cualquier ámbito ya sea álgebra, geometría, estadística y cálculo, permitiendo a los
estudiantes desarrollar grandes destrezas.
Palabras clave: Aprendizaje, derivadas, estudiantes, geogebra, matemática .
Abstract
The study focuses on the development of a methodological alternative for learning about derivatives applied in the educational
process that allows university students to enrich their knowledge and have meaningful learning, using technological tools
such as GeoGebra software. The research problem is the little knowledge and attention by the student body with respect to
the development of exponential derivatives. The objective of this study is to present a methodological alternative for learning
the derivatives of exponential functions where young students develop abilities and skills that allow an easy understanding of
mathematics. The research is descriptive, with a quantitative approach, the methods developed are inductive and synthetic
analytical. The results obtained show that the GeoGebra software is a very important and dynamic tool for learning and
teaching mathematics in any field, be it algebra, geometry, statistics and calculus, allowing students to develop great skills.
Keywords: Learning, derivatives, students, geogebra, mathematics .
1
Universidad Nacional de Educación.
2
Unidad Educativa Kennedy.
Aprendizaje de la Matemática con apoyo del software Geogebra 47
1 Introducción
Las derivadas son de mucha importancia en la vida diaria, ya que estas se pueden aplicar en diferentes campos como
economía, contabilidad, ingeniería, etc., sin embargo, en la actualidad los estudiantes universitarios presentan dificultades en
cuanto a su aprendizaje. El problema del estudio es el poco conocimiento y atención por los estudiantes del nivel superior
con respecto al desarrollo de las derivadas exponenciales. Por lo tanto, se requiere aplicar una alternativa de aprendizaje
y enseñanza de las derivadas de manera que ayude a los jóvenes a desarrollar sus destrezas y adquirir altos niveles de
conocimiento.
Sánchez et al. (2006), explica que, aunque se puede enseñar a los estudiantes a realizar de forma más o menos mecánica
algunos cálculos de derivadas y a resolver algunos problemas estándar, existen grandes dificultades para hacer que desarrollen
una comprensión de los conceptos y métodos de pensamiento que son el centro del cálculo.
El objetivo de este estudio es presentar una alternativa metodológica para el aprendizaje de las derivadas de funciones
exponenciales para estudiantes del nivel superior con el propósito de apoyar en su aprendizaje y enseñar nuevas técnicas de
aplicación mediante el software GeoGebra.
Para Montes de Oca y Machado (2011), la alternativa metodológica es una variante que integra el conjunto de métodos,
procedimientos, técnicas, actividades y acciones que se conciben para la realización de una actividad determinada en el marco
del desarrollo del proceso de enseñanza, y que está dirigida al cumplimiento de objetivos en condiciones transformadoras.
En lo metodológico la investigación es de tipo descriptiva, esta describe los datos y características de una población
o fenómeno en estudio. Salkind (1999) afirma: ªLa investigación d escriptiva reseña las características de un fenómeno
existente. Los censos nacionales son investigaciones descriptivas, lo mismo que cualquier encuesta que evalúe la situación
actual de cualquier aspectoº (p.11).
El enfoque se direcciona al cuantitativo, este se considera como un estudio basado numéricamente para la medición,
recolección de datos y resaltando el comportamiento de esquemas en una población. Hernández et al. (2014) sostienen: ªse
miden las variables en un determinado contexto; se analizan las mediciones obtenidas utilizando métodos estadísticos, y se
extrae una serie de conclusiones respecto de la o las hipótesisº (p.4-5).
El estudio en la parte introductoria, explica el problema de la investigación, el objetivo que persigue, en el estado del
arte se sostiene por medio de constructos teóricos de otras investigaciones, en la metodología se explica el tipo, su enfoque y
la técnica aplicada, los resultados se orientan a una mejor enseñanza-aprendizaje a través de herramientas digitales propias de
la matemática.
.
2 Estado del Arte
La alternativa metodológica es importante en el ámbito académico porque permite brindar un amplio nivel de
aprendizaje en los estudiantes que presentan deficiencias en la práctica de las matemática y mediante la visualización de
gráficas y ejercicios complementarios se pretende impulsar la práctica con la ayuda del software geogebra a menor tiempo,
algunos autores aportan con sus estudios, entre ellos: Aguilar (2019), indica la propuesta metodológica es una estrategia
pedagógica y didáctica que permite adquirir diferentes habilidades, destrezas y competencias en el ser humano, es de
gran ayuda para la formación profesional que valora los procesos investigativos, los conocimientos analíticos, críticos y
reflexivos de los diversos hechos, fenómenos y situaciones educativas contextuales. Cervantes et al. (2008), desarrollan
una propuesta para la derivada en un contexto de modelación que le ayudará a solucionar los problemas que representa la
comprensión del cálculo diferencial, y así poder generar una facilidad en la formación de los estudiantes que cursen la materia.
Barahona et al. (2015), explican que la herramienta GeoGebra facilita procesos de abstracción para mostrar cómo se
construye una relación entre un modelo geométrico y un modelo algebraico de una situación de la vida real, lo que permite
encontrar soluciones no solo matemáticas sino además visuales que representan la solución de un determinado problema.
Guachún y Mora (2018), dan a conocer que el GeoGebra es un instrumento de libre acceso y fácil uso para todos los
estudiantes, ayuda a mejorar una actividad central de la matemática como es la resolución de problemas, lo cual facilita la
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elaboración de diferentes estrategias para plantear los enunciados, permitiendo la investigación dinámica de las situaciones y
aportando nuevos métodos de resolución.
Los autores, Mosquera y Vivas (2017), expresan que el software GeoGebra es un programa muy útil ya que permite
ingresar varias funciones para realizar distintas operaciones como trigonometría, algebra, matrices y vectores, ayudando al
estudiante a fortalecer la comprensión de matemáticas de una manera más fácil ya que contiene ejemplos y esta jerarquizada
por temas y subtemas. Hernández, et al. (2018), explican que el coeficiente de correlación de Pearson es utilizado en muchas
áreas científicas desde estudios técnicos, econométricos o de ingeniería; hasta investigaciones relacionadas con las ciencias
sociales, del comportamiento o de la salud y debido a que es extensiva se hace mal uso de esta herramienta estadística
especialmente cuando debe ser interpretada correctamente. Roy et al. (2019), afirman que el coeficiente de correlación es
utilizado para describir la fuerza y dirección de la relación entre dos variables cuantitativas y ayuda a determinar la tendencia
de dos variables a ir juntas, conocida también como covarianza, el coeficiente de correlación se representa con una r y puede
tomar valores que van entre 1 y 1, un resultado de 0 significa que no hay correlación, es decir, el comportamiento de una
variable no se relaciona con el comportamiento de la otra variable. Una correlación perfecta implica un valor de 1 o 1, lo cual
indicaría que al conocer el valor de una variable sería posible determinarse el valor de la otra variable, entre más cercano a 1
sea el coeficiente de correlación, mayor la fuerza de asociación.
Cruz y Medina (2013), describen que la modelación de funciones tiene como objetivo interactuar el software GeoGebra
con los estudiantes y puedan observar gráficas que se generan al ingresar la función y visualizar cambios que se produce en
la misma al mover los deslizadores, y así puedan identificar y verificar las características principales de las funciones. Los
autores, Díaz et al. (2002), explican que el aprendizaje implica un proceso constructivo interno, autoestructurante y en este
sentido, es subjetivo y personal, tiene un importante componente afectivo, por lo que juegan un papel crucial los siguientes
factores: el autoconocimiento, el establecimiento de motivos y metas personales, la disposición por aprender, las atribuciones
sobre el éxito y el fracaso, las expectativas y representaciones mutuas. Por su parte, Herrera et al. (2012) expresan que la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son un proceso que permiten adquirir y desarrollar habilidades para un correcto
desempeño matemático en la sociedad y mediante el cual se puede identificar ejes problemáticos las dificultades, estrategias
y formación integral desde la enseñanza.
El autor, Gómez (2002), propone integrar investigaciones sobre aprendizaje mediante una propuesta de integración
afectiva y cognitiva en las situaciones de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, también propone la aplicación de algunos
instrumentos y un modelo de análisis para el estudio de la interacción cognición y afecto en el aprendizaje matemático.
Sarmiento y Luna (2017), expresan que los puentes tecnológicos, permiten el control sobre el aprendizaje para la construcción
de nuevo conocimiento, brinda al ser humano la capacidad de crear, compartir y dominar dicho conocimiento.
Los autores mencionados anteriormente aportan con su valioso conocimiento sobre la alternativa metodológica de
aprendizaje, con ello permiten a los estudiantes desarrollar destrezas y habilidades prácticas en el software geogebra ya que
el mismo permite facilitar el desarrollo de problemas de una manera rápida y eficaz.
3 Metodología
Dentro de lo metodológico, la investigación es de tipo descriptiva, con enfoque cuantitativo, los métodos desarrollados
son el inductivo y el analítico sintético, ya que el estudio permite estudiar de manera individual desarrollando cada ejercicio,
para luego integrar y estudiar de manera general las derivadas de funciones exponenciales, la técnica aplicada es la encuesta,
cuya información se recolecto a través de un cuestionario aplicado a una empresa industrial, por confidencialidad se le
nombra en el estudio como empresa ªKLUNº. La tabla 1, explica el personal encuestado.
4 Resultados
A modo de ejemplo, se explica el procedimiento analítico para el cálculo de derivadas de funciones exponenciales,
apoyadas en el software GeoGebra, para ello se parte de la información obtenida de la empresa industrial ªKLUNº, la tabla
2, expresa los costos promedios de producción de ciertos artículos.
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Fuente 1. Encuestados
PERSONAL NUMERO
Directivos 2
Personal administrativo 8
Personal de planta 12
Total 20
Fuente: Elaboración Propia.
Fuente 2. Costos promedio de producción
CANTIDAD COSTO PROM.
5 167.46
10 160.66
30 142.54
60 129.17
80 124.49
100 121.53
Fuente: Elaboración Propia.
Con los datos de la tabla 2, se procede abrir el software GeoGebra utilizando como referencia la figura 1, dando clic en
hoja de cálculo.
Fig. 1. Comando hoja de cálculo.
Fuente: Elaboración propia.
Se procede a copiar los datos en la hoja de cálculo como lo señala la figura 2.
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Fig. 2. Datos en hoja de cálculo.
Fuente: Elaboración propia.
Al señalar todos los datos en la hoja de cálculo del GeoGebra, este activa la tecla de histograma como se indica en la
figura 3, al dar clic sobre se escoge la opción análisis de regresión de dos variables.
Fig. 3. Análisis de regresión de dos variables.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 4, se observan los puntos en el diagrama de dispersión, en la parte inferior central hay un comando que dice
Modelo de regresión en la opción ªningunoº, se escoge una de las funciones que aparecen en el software, estas son: ªlineal,
log, polinomio, potencia, exponencial, crecimiento, sen, y logísticaº.
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Fig. 4. Diagrama de dispersión.
Fuente: Elaboración propia.
La opción logística une los puntos de mejor manera, lo explicado se observa en la figura 5.
Fig. 5. Modelo de regresión.
Fuente: Elaboración propia.
A partir de la figura descrita (figura 5), se da clic en , GeoGebra despliega una tabla con resultados estadísticos, se
observa que el coeficiente de correlación Rˆ2=1, lo que evidencia que la modelación es perfecta, ver figura 6.
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Fig. 6. Tabla estadística.
Fuente: Elaboración propia.
La función (1) representa el costo promedio de producir ciertos artículos de la empresa industrial ªKLUNº, obtenido de
la figura 6.
f(x) =
115, 94
1 − 0, 34e
(−0,02x)
(1)
Se procede a realizar el cálculo del costo marginal a partir de la información obtenida de la empresa ªKLUNº, este
proceso se lo realiza primero de manera analítica. Con (1), se determina la función del costo total, multiplicando ambos lados
por el número de artículos es decir f(x)*x=C donde C representa el Costo total.
f(x) =
115, 94
1 − 0, 34e
(−0,02x)
f(x) ∗ x =
115, 94
1 − 0, 34e
(−0,02x)
∗ x
C =
115, 94x
1 − 0, 34e
(−0,02x)
(2)
La función (2) representa el Costo total.
Para determinar el costo marginal se procede a derivar la función, ésta es del tipo racional y se aplica la fórmula (3).
dC
dx
=
v ∗ u
l
− u ∗ v
l
v
2
(3)
Siendo, u el numerador, v el denominador, u’ la derivada del numerador, v’ la derivada del denominador. Este
procedimiento se indica a continuación:
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u = 115, 94x
u
l
= 115, 94
v = 1 − 0, 34e
−0,02x
v
l
= −0, 34e
−0,02x
∗ −0, 02
v = 1 − 0, 34e
−0,02x
v
l
= −0, 0068e
−0,02x
(4)
Reemplazando esto valores en (3) se tiene:
dC
dx
=
0, 34e
−0,02x
∗ 115, 95 − 115, 95 ∗ 0, 0068e
−0,02x
(1 − 0, 34e
−0,02x
)
2
(5)
Se determina el valor del costo total marginal cuando x=55, reemplazando en (5), se observa.
dC
dx
x=55
=
0, 34e
−0,02x
∗ 115, 95 − 115, 95 ∗ 0, 0068e
−0,02x
(1 − 0, 34e
−0,02x
)
2
dC
dx
x=55
= 112, 38 (6)
Si C está en dólares y la producción se incremente en 1 unidad, de x=55 a x=56, entonces el costo de la unidad adicional
es aproximadamente de $ 112,38. Realizado este cálculo de manera analítica, se procede a comprobar a través del software
GeoGebra. En vista algebraica se digita la función del costo utilizando la denotación f(x) , según figura 7.
Fig. 7. Función de costo en vista algebraica.
Fuente: Elaboración propia.
Se elige el comando Derivada (<Función>), figura 8.
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Fig. 8. Selección de la derivada del costo total.
Fuente: Elaboración propia.
En el espacio señalado en la figura 9, se coloca la letra f de (función f).
Fig. 9. Denotación de la función.
Fuente: Elaboración propia.
La figura 10, denota la derivada de la función f (x).
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Fig. 10. Derivada de la función.
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 11, se coloca en la entrada de GeoGebra f’(55) que corresponde al valor de la función de costo total cuando
x=55, la respuesta que se obtiene confirma que el procedimiento analítico esta desarrollado de manera correcta. El valor de
$112,38, representa el costo de la unidad adicional, encontrado también de forma analítica.
Fig. 11. Valor del costo marginal.
Fuente: Elaboración propia.
5 Conclusiones
Los cálculos realizados para determinar la derivada de la función exponencial, es una muestra de cómo se puede tratar
metodológicamente una demostración desde el punto de vista analítico, evidenciando los resultados a través del software
GeoGebra, notando que esta forma de enseñanza aprendizaje da confianza, seguridad, rapidez y motivación para que el
proceso tenga solidez, calidad y perdure con el tiempo, fomentando una clase dinámica, participativa, que enriquece el trabajo
grupal e individual desarrollando destrezas múltiples.
Con la aplicación del software GeoGebra, se puede resolver ejercicios matemáticos sin mayor complicación, ello
permite realizar de manera fácil todos los procesos exactos como modelación de funciones, creación de problemas
relaciones con el cálculo diferencial, deducciones de las fórmulas, determinación de áreas de polígonos de n lados, cálculo
de ángulos en triángulos, trazo geométrico de curvas y entre curvas, en otras múltiples aplicaciones, para ello se utiliza
deslizadores propios del software, el cual crea múltiples ejercicios, permitiendo al estudiante tener un mayor nivel de reflexión.
Con el aporte de este estudio, se espera que los estudiantes a nivel superior, puedan desarrollar su actividad profesional
de manera más real y eficiente; en cuanto a las organizaciones, estas lograrán mejorar su gestión empresarial en todas las
áreas de la empresa, con ello los directivos podrán tomar decisiones más acertadas en beneficio corporativo.
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